【数学建模笔记】熵权法

title: 【数学建模笔记】熵权法
categories: 数学建模
date: 2021-01-20 12:44:26
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数学建模
熵权法

1.什么是熵?

熵的概念来自于热力学,表示不能用来做功的热能,为热能的变化量除以温度所得的商 .

1948年,麦克劳香农将熵的概念引入信息论中,作为信息的一个度量.

在信息论中,信息是系统有序程度的一个度量,熵是系统无序程度的一个度量,二者绝对值相等,方向相反.

熵是对不确定信息的度量,熵与信息成反比,熵值越小越好

![CD3FEB85-39B0-4A8B-9E51-DEEF3B5FD817](/Users/zhiyizhou/Library/Containers/com.tencent.qq/Data/Library/Application Support/QQ/Users/2579016304/QQ/Temp.db/3DE2712A-1A93-4704-B339-1F3BA011AEE7.png)

熵权法是一种可以用于多对象,多指标的综合评价方法.其评价结果主要依据客观资料.几乎不受主观因素的影响,可以很大程度上避免人为因素的干扰.

一、

数据标准化(无量纲化)

首先分别对矩阵中的正向指标和逆向指标分别处理(m个评价对象,n个评价指标):

![C3B76A9E-2FA1-4482-9BFA-163828761C4B](/Users/zhiyizhou/Library/Containers/com.tencent.qq/Data/Library/Application Support/QQ/Users/2579016304/QQ/Temp.db/C3B76A9E-2FA1-4482-9BFA-163828761C4B.png)

然后可以得到一个标准化后的矩阵R:

![9B1E18C7-6627-400D-88D1-BC4427649D37](/Users/zhiyizhou/Library/Containers/com.tencent.qq/Data/Library/Application Support/QQ/Users/2579016304/QQ/Temp.db/9B1E18C7-6627-400D-88D1-BC4427649D37.png)

第j个指标的熵值:

![3FC72C20-6C4F-4B31-9D6E-592FC64B541F](/Users/zhiyizhou/Library/Containers/com.tencent.qq/Data/Library/Application Support/QQ/Users/2579016304/QQ/Temp.db/3FC72C20-6C4F-4B31-9D6E-592FC64B541F.png)

第j个指标熵的权重(熵权)定义为:

![7B3EC85B-E04C-4B8F-8ADE-B6A860D4174B](/Users/zhiyizhou/Library/Containers/com.tencent.qq/Data/Library/Application Support/QQ/Users/2579016304/QQ/Temp.db/7B3EC85B-E04C-4B8F-8ADE-B6A860D4174B.png)

评价指标的熵权的定义:

指标的熵越大,熵权越小,该指标越不重要.并满足:

![1E1F8B61-2080-4FC8-9F50-C5B251D63D9A](/Users/zhiyizhou/Library/Containers/com.tencent.qq/Data/Library/Application Support/QQ/Users/2579016304/QQ/Temp.db/1E1F8B61-2080-4FC8-9F50-C5B251D63D9A.png)

熵权并非实际意义上的重要性指数,而是各指标在竞争意义上的相对激烈程度系数

当评价对象确定后,再根据熵权对评价指标进行调整、增减,以利于作出更精确、可靠的评价.同时也可以利用熵权对某些指标评价值的精度进行调整,必要时重新确定平均值和精度

二、熵权法的一般步骤

1.确定评价对象,建立评价指标体系,构造指标水平矩阵

对评价矩阵进行标准化处理的矩阵R=(rij)mxn
计算评价指标的熵Hj:![8F405609-F500-43C8-AE51-0D8A9715AE2C](/Users/zhiyizhou/Library/Containers/com.tencent.qq/Data/Library/Application Support/QQ/Users/2579016304/QQ/Temp.db/8F405609-F500-43C8-AE51-0D8A9715AE2C.png)

其中分两种情况:![396C9D7B-4007-433F-A558-E6BE5C1A8AB8](/Users/zhiyizhou/Library/Containers/com.tencent.qq/Data/Library/Application Support/QQ/Users/2579016304/QQ/Temp.db/396C9D7B-4007-433F-A558-E6BE5C1A8AB8.png)

4.计算评价指标的熵权:![D8F74A7B-C5D5-40AF-80A5-3B3E302CBAB6](/Users/zhiyizhou/Library/Containers/com.tencent.qq/Data/Library/Application Support/QQ/Users/2579016304/QQ/Temp.db/D8F74A7B-C5D5-40AF-80A5-3B3E302CBAB6.png)

5.结合主观赋权法求lambda 得到权重(AHP或其他需要方法,需要求权重的部分用熵权法求):

![A530CEF3-041F-478F-AFCF-938365F2B678](/Users/zhiyizhou/Library/Containers/com.tencent.qq/Data/Library/Application Support/QQ/Users/2579016304/QQ/Temp.db/A530CEF3-041F-478F-AFCF-938365F2B678.png)

6.计算综合评分:

![3DC8FA90-CB5F-4623-85E3-2AA126B23982](/Users/zhiyizhou/Library/Containers/com.tencent.qq/Data/Library/Application Support/QQ/Users/2579016304/QQ/Temp.db/3DC8FA90-CB5F-4623-85E3-2AA126B23982.png)

按照F由大到小对评价对象进行排序,大的更接近理想方案

6.饮用Zadeh的定义计算空间距离:

![6EB62E7B-BDBF-40B1-A55D-4130BA132203](/Users/zhiyizhou/Library/Containers/com.tencent.qq/Data/Library/Application Support/QQ/Users/2579016304/QQ/Temp.db/6EB62E7B-BDBF-40B1-A55D-4130BA132203.png)

例题:设某图书馆有6种可供订选的科技期刊,选取4个评价指标进行熵权评价,采用专家打分法,得到由原始数据构成的指标水平矩阵如下:![D29A2A3A-ADCE-4A6C-92FE-EB15BF3D384C](/Users/zhiyizhou/Library/Containers/com.tencent.qq/Data/Library/Application Support/QQ/Users/2579016304/QQ/Temp.db/D29A2A3A-ADCE-4A6C-92FE-EB15BF3D384C.png)

一般方法

标准化处理之后得到如下矩阵:

![2F0764F6-A53E-46B9-8CD0-9228DE385B50](/Users/zhiyizhou/Library/Containers/com.tencent.qq/Data/Library/Application Support/QQ/Users/2579016304/QQ/Temp.db/2F0764F6-A53E-46B9-8CD0-9228DE385B50.png)

根据公示确定的4个指标的熵值:

H1=0.8158.H2=0.8544,H3=0.8637,H4=0.8809

计算得出各评价指标的权值如下表:

![8D22BB08-B5EB-4D20-854B-E9E9B42FF51C](/Users/zhiyizhou/Library/Containers/com.tencent.qq/Data/Library/Application Support/QQ/Users/2579016304/QQ/Temp.db/8D22BB08-B5EB-4D20-854B-E9E9B42FF51C.png)

综合得分结果:

![DFEEA657-70BA-47C1-A582-CFB60E1FEE06](/Users/zhiyizhou/Library/Containers/com.tencent.qq/Data/Library/Application Support/QQ/Users/2579016304/QQ/Temp.db/DFEEA657-70BA-47C1-A582-CFB60E1FEE06.png)